经济凸覆盖及其应用
摘要：凸体的覆盖已经成为设计解决凸体近似问题的高效解决方案的核心组成部分。直观地说，给定一个凸体$K$和$epsilon>0$，覆盖是一组凸体，其并集覆盖$K$，并且每个体的常数因子扩展都位于$K$的$epsilon$扩展内。覆盖已经在许多应用中被使用，例如直径、宽度和点集的$epsilon$-核、近似最近邻搜索、多面体近似和最近向量问题的近似。 已知如何在$ extbf{R}^n$中构造一般凸体的大小为$n^{O(n)}/epsilon^{(n-1)/2}$的覆盖。在特殊情况下，例如当凸体是$ell\_p$单位球时，这个界限已经改进为$2^{O(n)}/epsilon^{(n-1)/2}$。这引发了一个问题，即这样的界限是否普遍存在。在本文中，我们肯定地回答了这个问题。 我们通过将其应用于通过Banach-Mazur度量来近似凸体的问题来展示我们覆盖的强大和多样性。给定一个良好中心的凸体$K$和一个近似参数$epsilon>0$，我们证明存在一个由$2^{O(n)}/epsilon^{(n-1)/2}$个顶点（面）组成的多面体$P$，使得$K subset P subset K(1+epsilon)$。这个界限在最坏情况下是最优的，最多相差$2^{O(n)}$个因子。另外，由此还可以获得在任何范数下运行时间为$2^{O(n)}/epsilon ^{(n-1)/2}$（输入规模为多项式因子）的最快$(1+epsilon)$-近似CVP算法，以及解整数规划问题的最快$(1+epsilon)$-近似算法。我们还提供了一个构造任意凸体最优大小覆盖的框架（最多相差$2^{O(n)}$个因子）。
作者：Sunil Arya and Guilherme D. da Fonseca and David M. Mount
论文ID：2303.08349
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-03-16