将欧拉-拉格朗日方程解释为作用量泛函的梯度
摘要：平滑路径空间的研究是将欧几里得空间$ \mathbb {R} ^ N $作为微分多形空间。我们表明自由路径空间$ \mathscr{P}$的切空间与$ \mathscr{P}$本身同构，并且具有固定端点$ \mathbf {p} $和$ \mathbf {q} $的路径空间$ \mathscr{P} _ {\mathbf {p}，\mathbf {q}} $的切空间与以原点为基点的$ \mathbb {R} ^ N $的平滑回路空间同构。我们还定义了从这些路径空间到平滑映射的共切和梯度，然后表明在变分法中出现的作用函数情况下，梯度恰好是由欧拉-拉格朗日方程的项构成的路径。我们表明，欧拉-拉格朗日方程的解与梯度的零点精确对应，并且为约束欧拉-拉格朗日方程提供类似的解释。这为这些方程提供了一个启发性的几何视角。最后，我们通过几个几何，力学和机器学习的具体示例说明了这一理论。
作者：Montek Singh Gill
论文ID：2303.07999
分类：General Mathematics
分类简称：math.GM
提交时间：2023-03-15