分离混合三角多项式的有界和无界实根
摘要：混合三角多项式 (MTPs) 是具有形式$f(x,sin{x}, cos{x})$的函数，其中 $f \in \mathbb{Q}[x\_1,x\_2,x\_3]$。本文提供并实现了一种算法来``隔离"所有MTP的实根。算法自动将实根分为两部分：一部分包含有限个在区间 $[mu\_-,mu\_+]$ 中的``有界"根，另一部分包含可能可数个在 $mathbb{R}ackslash[mu\_-,mu\_+]$ 中的``周期"根。对于有界根，算法返回隔离区间和相应的重数，而对于周期根，算法返回有限个互不相交的小区间 $I\_isubset[-pi,pi]$、整数 $c\_i>0$ 和根重数多重集合 ${m\_{j,i}}\_{j=1}^{c\_i}$，使得任何周期根 $t>mu\_+$ 都在集合 $(sqcup\_icup\_{kinmathbb{N}}(I\_i+2kpi))$ 中，并且任何区间 $I\_i+2kpisubset(mu\_+,infty)$ 都恰好包含 $c\_i$ 个周期根，重数分别为 $m\_{1,i},...,m\_{c\_i,i}$。通过实验证明了算法的有效性和效率。特别地，我们的结果表明，MTP的根在距离 $0$ 很远的``周期" $(-pi,pi]+2kpi$ 中的``分布"具有相同的模式。此外，用于隔离 $[mu\_-,mu\_+]$ 中的根的方法同样适用于任何其他有界区间。该算法利用了弱傅里叶序列技术，按周期处理区间，而不对坐标进行缩放，以保持序列的长度短。新的方法可以轻松修改，以确定是否存在任何根，或者是否存在形式为 $(-infty,a)$ 或 $(a,infty)$ 的无界区间中的无穷多个根，其中 $ainmathbb{Q}$.
作者：Rizeng Chen, Haokun Li, Bican Xia, Tianqi Zhao and Tao Zheng
论文ID：2301.05847
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2023-01-18