稀疏几何集系统与贝克-菲亚拉猜想
摘要：由本文所研究的组合不符合几何集合系统在Beck-Fiala设置中的浅单元复杂度被限制在每个点最多属于t个范围。对于浅单元复杂度为$psi(m,k)=g(m)k^{c}$的集合系统，其中$(i)$ $g(m) = o(m^{varepsilon})$对于任意$varepsilonin (0,1]$，$(ii)$ $psi$在$m$中是非递减的，$(iii)$ $c>0$与$m$和$k$无关，我们得到一个不符号度的界限为[ Oleft(sqrt{left(log n+left(t^{c}g(n) ight)^{frac{1}{1+c}} ight)log n} ight).]对于$t=omega(log^2 n)$，在几个情况下，如平面上的点和半平面/圆盘/伪圆盘在$mathbb{R}^2$中的集合系统，点和坐标轴在$mathbb{R}^3$中等等，这些界限是$o(sqrt{t})$，证实了Beck和Fiala的猜测界限~emph（Dis。Appl。数学，1981）。我们的界限是通过使用Welzl的乘法权重更新方法（SoCG，1988）以及Mustafa最近在浅单元复杂度方面对于集合系统浅堆积给出的边界（Disc。Comp。几何，2015），来展示存在具有低穿越数的匹配。对于具有浅单元复杂度为$psi(m,k)=m^{c\_1}g(m)k^{c}$的集合系统，我们得到的穿越数最大为[ Oleft(left(n^{c\_1}g(n)t^{c} ight)^{frac{1}{1+c\_1+c}} ight).]这些都是非常有意义的。
作者：Kunal Dutta and Arijit Ghosh
论文ID：2301.03329
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-01-10