"$\text{AC}^0$公式的临界性"
摘要：临界性和关于临界性的预测，由Rossman [In Proc. 34th Comput. Complexity Conf., 2019]引入。临界性是一个布尔函数f : {0,1}^n → {0,1}的最小lambda（lambda ≥1），使得对于所有正整数t，[Pr[ext{DT}_{ext{depth}}(f|_{\rho}) ≥ t] ≤ (p\lambda)^t]。Håstad的著名切换引理表明任何k-DNF的临界性至多为O(k)。对于对偶和幂次的size，对于$ ext{AC}^0$电路与奇偶数之间的相关性限制的改进表明，任何大小为S且深度为d + 1的$ ext{AC}^0$-电路的临界性至多为O(log S)^d，任何大小为S且深度为d + 1的$ ext{AC}^0$-公式的临界性至多为O(left(\frac {1}{d} \right)^d)。我们通过展示任何大小为S和深度为d + 1的$ ext{AC}^0$-公式（不一定是规则的）的临界性至多为O(left(\frac {1}{d} \cdot \log S \right)^d)来加强这些结果，从而解决了Rossman的一个猜想。这个结果还暗示了Rossman对于计算奇偶数的深度为d的$ ext{AC}^0$-公式的大小的最优下界[Comput. Complexity, 27(2):209-223, 2018.]。我们的结果暗示了与奇偶数的相关性的紧密界限，紧密的Fourier集中结果和对于$ ext{AC}^0$公式的改进的$#$SAT算法。
作者：Prahladh Harsha, Tulasi mohan Molli, Ashutosh Shankar
论文ID：2212.08397
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-01-06