关于指标和内积函数的散射器/提升性质
摘要：查询到通信提升定理，它将布尔函数的查询复杂性与一个由许多副本组成的另一个函数（称为工具）构成的“提升”函数的通信复杂性联系起来，对于计算复杂性中的许多开放问题，起到了重要作用。如果我们能够在 Index 函数的提升所需的输入大小方面取得实质性改进，从当前接近线性大小减少到与原始函数的输入数量 $N$ 的多对数或理想情况下是常数，那么几个重要的复杂性问题就可以得到解决。Lovett、Meka、Mertz、Pitassi 和 Zhang 使用对 Sunflower 引理的最新突破性改进证明了接近线性大小的与 Index 函数相关的某个图形是扩散器。他们还提出了关于 Index 函数的一个猜想，这对于使用当前技术进一步改进使用 Index 进行提升所需的大小至关重要。在本文中，我们证明了以下内容： 1）Lovett等人的猜想是错误的，当 Index 工具的大小为 $log N-omega(1)$ 时。 2）另外，内积函数在大小为 $O(log N)$ 时满足扩散器属性，但在大小为 $log N-omega(1)$ 时却没有这个属性。 3）尽管如此，使用大小至少为 4 的 Index 工具，我们证明了一类被限制在发送其输入的奇偶校验的通信协议的提升定理。 4）利用这个提升定理的思想，我们从决策树大小到奇偶决策树大小推导出一个强提升定理。我们利用这个定理推导出在证明复杂性中的从树分辨率大小到树状 $Res(oplus)$ 引证大小的一般提升定理，从而获得许多新的指数下界证明。
作者：Paul Beame, Sajin Koroth
论文ID：2211.17211
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-12-21