保结构的不变内插方案用于可逆的二阶张量
摘要：张量插值是各种应用领域和科学学科中张量数据分析的重要步骤。本文提出了一种针对一般的对称或非对称可逆方阵的新型插值方案。具体而言，所提出的方案依赖于张量数据的极坐标和谱分解的组合，即$\oldsymbol{T} = \oldsymbol{R}\oldsymbol{Q}^T \\oldsymbol{\Lambda} \\oldsymbol{Q}$，随后对旋转张量$\oldsymbol{R}$、$\oldsymbol{Q}$和来自该分解的正定对角特征值张量$\oldsymbol{\Lambda}$进行逐个插值。对于特殊正交群$\mathbb{SO}(3)$中的一致旋转插值，考虑了两种不同的方案，一种基于相对旋转矢量，一种基于四元数。对于特征值插值，考虑了三种不同的方案，一种基于对数加权平均，一种基于移动最小二乘法，一种基于对数移动最小二乘法。实验证明，所提出的插值过程保持了张量的结构，即$\oldsymbol{R}$和$\oldsymbol{Q}$仍然是正交张量，$\oldsymbol{\Lambda}$仍然是正定对角张量，同时保持了尺度和旋转不变性（客观性）。基于选定的数值示例，比较了所提出的方案与存在的方法，如欧几里得插值、对数欧几里得插值、Cholesky插值和对数Cholesky插值。与这些现有方法不同，所提出的插值方案导致了诸如行列式、迹、分数各向异性（FA）和希尔伯特各向异性（HA）等张量不变量的平滑单调演变。
作者：Abhiroop Satheesh, Christoph P. Schmidt, Wolfgang A. Wall, Christoph Meier
论文ID：2211.16507
分类：Computational Engineering, Finance, and Science
分类简称：cs.CE
提交时间：2022-12-01