置换积的对称公式
摘要：关于字问题$Word_{S_n,k}: {0,1}^{kn^2}\to {0,1}$的公式复杂性的研究：给定$n$×$n$的排列矩阵$M_1,\dots,M_k$，计算矩阵乘积$M_1\dots M_k$的(1,1)元素。这个函数的一个重要特征是，在S_n^{k-1}的作用下是不变的，即对于任意$(\pi_1,\dots,\pi_{k-1})\in S_n^{k-1}$，有$(M_1,\dots,M_k) = (M_1\pi_1^{-1},\pi_1M_2\pi_2^{-1},\dots,\pi_{k-2}M_{k-1}\pi_{k-1}^{-1},\pi_{k-1}M_k)$。这种对称性也展示在了计算$Word_{S_n,k}$的已知的最小无界fan-in AND, OR, NOT-formulas中，其大小为$n^{O(\log k)}$。本文证明了计算$Word_{S_n,k}$的S_n^{k-1}不变公式的匹配下界$n^{\Omega(\log k)}$。这个结果的动机在于，对于非受限制的（非不变）公式，类似的下界将分离复杂性类$NC^1$和$Logspace$。我们的更一般的主要定理给出了对于任意具有最小排列表示度数$n$的有限简单群$G$，计算$Word_{G,k}$的$G^{k-1}$不变深度-d AND, OR, NOT-formula大小的近似紧tight下界$n^{d(k^{1/d}-1)}$。我们还给出了对于$G$为阿贝尔群的情况下，$G^{k-1}$不变深度-d AND, OR, NOT-formula大小的近似紧下界。
作者：William He and Benjamin Rossman
论文ID：2211.15520
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-11-29