对称范数空间中内积的通信复杂度
摘要：计算两个向量的内积的通信复杂性，其中输入在$mathbb{R}^n$空间上限制于规范$N$。Alice和Bob持有两个向量$v,u$，使得$|v|\_N\leq 1$和$|u|\_{N^*}\leq 1$，其中$N^*$是对偶规范。他们希望计算他们的内积$langle v,u angle$，并添加一个$ε$的附加项。该问题表示为$mathrm{IP}\_N$。 对$mathrm{IP}\_N$进行系统研究，得到以下结果： - 对于任何对称规范$N$，给定$|v|\_N\leq 1$和$|u|\_{N^*}\leq 1$，存在一个使用$ ilde{mathcal{O}}(ε^{-6} \log n)$ 位的$mathrm{IP}\_N$的随机协议，我们将其表示为$mathcal{R}\_{ε,1/3}(mathrm{IP}\_{N})\leq ilde{mathcal{O}}(ε^{-6} \log n)$。 - 单向通信复杂性$overrightarrow{mathcal{R}}(mathrm{IP}\_{ℓ\_p})\leq \mathcal{O}(ε^{-\max(2,p)} \cdot \log\frac{n}{ε})$，并且对于$ε^{-\max(2,p)}\ll n$，存在几乎匹配的下界$overrightarrow{mathcal{R}}(mathrm{IP}\_{ℓ\_p}) \geq \Omega(ε^{-\max(2,p)})$。 - 对称规范$N$的单向通信复杂性$overrightarrow{mathcal{R}}(N)$受到嵌入$ℓ\_∞^k$到$N$的控制。具体来说，尽管小失真嵌入很容易导致下界$Ω(k)$，但我们证明，相反地，这样的嵌入不存在就意味着存在通信为$k^{mathcal{O}(log log k)} \log^2 n$的协议。 - 对于任意原点对称凸多面体$P$，我们证明$mathcal{R}(mathrm{IP}\_{N}) \leq \mathcal{O}(ε^{-2} \log \mathrm{xc}(P))$，其中$N$是使得$P$是单位球的唯一规范，$mathrm{xc}(P)$是$P$的扩展复杂度。
作者：Alexandr Andoni, Jaros{l}aw B{l}asiok, Arnold Filtser
论文ID：2211.13473
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-11-28