所有字段上最小距离问题的参数化近似难度与所有$ell\_p$范数中最短向量问题的参数化近似难度
摘要：线性码上的最小距离问题（Minimum Distance Problem，MDP）在任意确定的有限域上，并且由输入的距离界限参数化，我们证明了在任意常数近似下，MDP是W[1]-难的。我们还对整数格上参数化的最短向量问题（Shortest Vector Problem，SVP）证明了类似的结果。具体地，我们证明了对于任意固定的$p>1$，$ell\_p$范数下的SVP在任意常数近似下是W[1]-难的，而对于$p=1$，它在接近2的因子下是W[1]-难的。（我们在每种情况下展示了随机化规约下的难度。） 这些结果回答了Bhattacharyya, Bonnet, Egri, Ghoshal, Karthik C. S., Lin, Manurangsi和Marx（Journal of the ACM，2021）针对参数化MDP和SVP的复杂性所留下的主要问题（并明确提出的）。对于MDP，他们证明了对于二进制线性码的类似难度，并留下了一般域的情况。对于$ell\_p$范数下的SVP，他们展示了一定常数近似的不可近似性（取决于$p$），并留下了展示这种难度对于任意常数近似的问题。他们还留下了展示即使在$ell\_1$范数下，SVP的精确解也是W[1]-难的问题。
作者：Huck Bennett and Mahdi Cheraghchi and Venkatesan Guruswami and Jo~ao Ribeiro
论文ID：2211.07900
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-03-03