描述图、矩阵幂稳定化和多项式时间中的图同构
摘要：确定了在多项式时间内可以测试图同构性，这解决了计算理论中的一个长期存在的问题。本文的贡献分为三个阶段。首先，引入了一个描述图$ \tilde{A} $到给定图$ A $的过程，使得$ \tilde{A} $的顶点和边上的标签表示在$ A $中任何长度的任何类型的路径之间的相同或不同数量的行走。然后，开发了三个获取描述图的过程。它们揭示了矩阵幂、谱分解和伴随矩阵之间的关系，这是独立感兴趣的。其次，我们展示了通过矩阵幂稳定化可以实现描述图的稳定化，这是一种区分图的顶点和边的新方法。通过对顶点进行分区，这种方法被证明与Weisfeiler-Lehman (WL)算法等价。具体的Square-and-Substitution (SaS)算法比WL算法更简洁。我们的稳定图的顶点分区被证明是强均衡分区，在证明我们的主要结论时是重要的。还探讨了稳定图的一些性质。最后，我们提出了一类称为binding graphs的图，并证明它们是图同构完全问题。binding图的稳定图的顶点分区是自同构分区，这使我们能够确认图同构问题在复杂度类P中。由于binding图对于图的构造非常简单，我们的方法可以很容易地应用于实践中。文中提供了一些例子作为说明，并在附录中给出了对SaS算法实现的简要建议。
作者：Rui Xue (State Key Laboratory of Information Security, Institute of Information Engineering, CAS)
论文ID：2211.05637
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-01-25