利用同构定义向量空间维数和模的秩的备选方案。
摘要：向量空间维数或模的秩的标准定义表明，维数或秩等于任意基的基数，这需要对基、生成集和线性无关的概念有一定的理解。我们提出了新的定义，用同构来定义向量空间的维数（称为同构维数）和模的秩（称为同构秩）。在有限情况下，对于域$F$上的向量空间$V$，如果存在$F^n$到$V$的线性同构，则其同构维数等于$n$。对于带有单位元的交换环$R$上的模$M$，如果存在一个$R$-模同构从$R^n$到$M$，则其同构秩等于$n$。在无限情况下也有类似的定义。这些同构定义不需要基、生成集和线性无关的概念。这种方法使得一些基本的线性代数和模论结果更容易理解，或者更容易用同构和同态的其他代数证明方法证明，并提供了另一种教学维度和秩的方法。
作者：Julia Maddox
论文ID：2211.05577
分类：Rings and Algebras
分类简称：math.RA
提交时间：2023-07-18