将多边形划分为小块
摘要：将一个给定的简单多边形$P$划分为一定数量的多边形片段，每个片段都有有界大小的问题。我们给出了七种“有界大小”的概念的算法，即每个片段的面积、周长、直径、测地线直径都有界，或者每个片段必须包含在一个单位圆、一个轴对齐的单位正方形或一个任意旋转的单位正方形内。 面积问题的更一般版本已经研究过了。在这里，除了$P$，我们还给出正实数值$a_1，\ldots，a_k$，使得$sum_{i=1}^k a_i$等于$P$的面积。目标是将$P$划分为恰好$k$个片段$Q_1，\ldots，Q_k$，使得$Q_i$的面积为$a_i$。这样的划分总是存在的，并且先前已经描述了一个运行时间为$O(nk)$的算法，其中$n$是$P$的角数。我们给出了一个具有最优运行时间$O(n+k)$的算法。对于带洞的多边形，我们得到了运行时间$O(nlog n+k)$。 对于其他问题，在简单多边形中计算最优划分似乎是困难的；对于大多数问题，即使在极其受限制的情况下，例如当$P$是一个正方形时。因此，我们为这些问题开发了$O(1)$-近似算法，也就是说，所产生的划分中的片段数量最多比最小划分的基数大一个常数因子。现有的算法不允许斯坦纳点，这意味着所产生片段的所有角点也必须是$P$的角点。这很令人失望，因为划分经常不存在，而我们的算法总能产生有用的划分。此外，没有斯坦纳点的最优划分对于需要$Omega(n)$个片段的情况，而当允许斯坦纳点时，只需要2个片段的划分来说，通常都是不可行的。
作者：Mikkel Abrahamsen and Nichlas Langhoff Rasmussen
论文ID：2211.01359
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-11-03