空三角形的无选择引理
摘要：平面上有一个处于一般位置的点集$S$，第二次选择引理表明，对于由$S$张成的$O(n^3)$个三角形的任意族，存在一个点使得它与这些三角形中的一定比例相交。但是对于$O(n^{3-\alpha})$个三角形的族，其中$0\leq\alpha\leq1$，可能不存在一个点与超过$O(n^{3-2\alpha})$个三角形相交。$S$的一个空三角形指的是由$S$张成的三角形，其内部不包含任何$S$中的点。B''ar''any猜测存在一条由$S$张成的边，它与超常数个空三角形相交。$S$的空三角形数量可能是$O(n^2)$；在这种情况下，平均而言，由$S$张成的每条边与固定数量的空三角形相交。B''ar''any的猜测表明，对于空三角形的类别，上述上界可能不成立。在本文中，我们证明了令人惊讶的是，对于空三角形，上述上界实际上是成立的。具体地，我们证明了对于任意的整数$n$和实数$0\leq\alpha\leq1$，存在一个大小为$n$的点集，其中有$O(n^{3-\alpha})$个空三角形，使得平面上的任何点只出现在$O(n^{3-2\alpha})$个空三角形中。
作者：Ruy Fabila-Monroy, Carlos Hidalgo-Toscano, Daniel Perz, Birgit Vogtenhuber
论文ID：2210.00630
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-10-04