用离散常微分方程表征的实数上可多项式时间计算函数。
摘要：从整数到整数的函数类最近已经利用离散常微分方程（ODE）进行了刻画。在普通微分方程的框架下，很自然地将这种方法扩展到实数上的函数类，而不仅仅是整数上的函数类。最近，对从整数到实数的函数进行了前一刻画的扩展，但是证明中使用的方法，基于存在一个从整数到适当离散实数集合的连续函数，无法扩展到从实数到实数的函数，因为出于明显的拓扑原因，这样的函数不存在。在本文中，我们证明了从实数到实数的函数可以提供一种简洁而简单的代数刻画：我们将这样的函数刻画为包含一些基本函数并通过组合、线性长度ODE和自然的有效极限模式封闭的最小函数类。这是通过基于递归定义的特定合适的函数的构造以及重心法的一种替代证明技术获得的。此外，我们还在多个方向上拓展了先前的刻画：首先，我们证明了没有乘法的必要性。我们证明了一个正规形式定理，其中包含与形式神经网络相关的一个有益的副作用。实际上，给定一定误差和一定的多项式时间t(n)，我们的设置有效地产生了某个神经网络，该网络以给定精度计算函数在其定义域上的值，对于任何t(n)多项式时间可计算的函数f。
作者：Manon Blanc and Olivier Bournez
论文ID：2209.13404
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-11-17