最小生成树拥塞问题的更好困难度结果
摘要：跨度树拥塞问题中，给定一个连通图$G$，目标是计算一个$G$中最小化最大边拥塞的生成树$T$，其中边$e$的拥塞度是$G$中路径的数量，这些路径在$T$中连接它们的端点通过$e$。已知该问题是$mathbb{NP}$-hard的，但其近似性仍不甚了解。在这个问题的决策版本中，记为$K$-extsf{STC}，我们需要确定$G$是否有一个拥塞度最多为$K$的生成树。已知对于$Kge 8$，$K$-extsf{STC}是$mathbb{NP}$-complete的。另一方面，$3$-extsf{STC}可以在多项式时间内解决，对于$Kin {4,5,6,7}$，该问题的复杂性状态仍是一个开放问题。我们通过证明$K$-extsf{STC}对于$Kge 5$是$mathbb{NP}$-complete的，大大改进了早期的难度结果。这只留下了$K=4$的情况，并将近似比的下界改进为$1.2$。 受到减少拥塞难度的图的小常数半径的证据的启发，我们考虑半径为$2$的图的$K$-extsf{STC}限制，并证明该变体对于所有$Kge 6$都是$mathbb{NP}$-complete的。在这个方向上进一步探索，我们还研究了变体$K$-extsf{STC}D，其中目标是确定图是否有一个最大拥塞度为$K$的深度为$D$的生成树。我们证明了对于二分图来说，$6$-extsf{STC}2是$mathbb{NP}$-complete的。对于二分图，我们通过证明$5$-extsf{STC}2是多项式时间可解的来得出一个紧密的界限。此外，我们还通过两个关于二分图和顶点度数限制的特殊情况的多项式时间算法来补充这个结果。
作者：Huong Luu and Marek Chrobak
论文ID：2209.08219
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2023-07-12