关于自由斜域中的身份测试和非交换秩计算
摘要：有理式（RIT）在自由斜场上的恒等性测试可有效地归约到计算一个矩阵的秩，该矩阵的元素是非交换变量的线性多项式。该秩计算问题有确定性多项式时间的白盒算法和随机多项式时间的黑盒算法。本文提出了一种有效去随机化黑盒RIT的新方法，并获得了关于自由斜场上矩阵秩计算的结果，以及一类新的有理表达式的高效线性笔形表示。具体来说，本文得出了以下结果： 1. 在假设每个$k \times k$矩阵代数的多项式恒等性的ABP（代数支撑程序）复杂度是$2^{\Omega(k)}$的情况下，我们得到了一个几乎普遍设置下的亚指数时间的黑盒算法，这可以看作是针对有理式的第一个“难度导致去随机化”类型的定理。 2. 我们证明了自由斜场上任意具有小线性笔形表示的矩阵的非交换秩可以在确定性多项式时间内计算。在此之前，仅对于具有非交换公式作为元素的矩阵已知存在高效的秩计算算法。作为我们算法的特殊情况，我们获得了用于计算元素为非交换ABP或有理式的矩阵秩的首个确定性多项式时间算法。 3. 在Bergman给出的定义的启发下，我们定义了一个包含非交换ABP和有理式的新类。我们为该类获得了多项式大小的线性笔形表示。作为副产品，我们获得了该类的白盒确定性多项式时间的恒等性测试算法。
作者：V. Arvind and Abhranil Chatterjee and Utsab Ghosal and Partha Mukhopadhyay and C. Ramya
论文ID：2209.04797
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-09-13