高维度中的良好分离和超平面穿越
摘要：高维空间中的k个点集的一个族若满足凸包中任意两个不相交子族可被一个超平面分隔，则称其为良好分离的。良好分离是一个强假设，使我们能够得出某些广义ham-sandwich割线对于点集的存在性。但是，检查给定高维点集族是否具有这个属性有多难？从这个问题开始，我们研究了高维空间中横截面和分离存在性的若干算法性质。首先，我们提供了一个显式证明，即k个点集是良好分离的当且仅当它们的凸包不具有(k-2)-横截面，也就是说，不存在一个(k-2)维的平面与所有k个集合的凸包相交。由此可知，检查良好分离性质在复杂度类coNP中。接下来，我们证明了在R^d中，判断一个d+1条线段的族是否存在一个超平面横穿（即(d-1)-横截面）是NP困难问题，其中d是输入的一部分。因此，可以得出测试良好分离问题是coNP完全的。此外，我们证明了寻找一个最大化相交集合数的超平面是NP困难的，但是当每个集合只包含一个点时，可以使用一种在d和k中是多项式时间、O(log k/(k log log k))近似算法。当所有点集是有限的时候，我们证明了判断是否存在一个(k-2)横截面实际上是强NP完全的。
作者：Helena Bergold and Daniel Bertschinger and Nicolas Grelier and Wolfgang Mulzer and Patrick Schnider
论文ID：2209.02319
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-09-07