通过行重排矩阵的Perron根来限制行和算术平均值
摘要：对于$n\times n$的非负矩阵，$R_+^{n\times n}$表示该矩阵的集合。对于 $A\in R_+^{n\times n}$，令 $Omega(A)$ 表示由 $A$ 中每一行的元素重排得到的矩阵的集合。具体而言: $$Omega(A)={B\in R_+^{n\times n}: \forall i, \exists \text{一种排列 }\phi_i, \text{使得} b_{i,j}=a_{i,\phi_i(j)}, \text{对所有} j}.$$ 对于 $B\in Omega(A)$，令 $ho(B)$ 表示 $B$ 的谱半径或者最大的非负特征值。我们证明矩阵 $A$ 的行和的算术平均值由 $Omega(A)$ 中的矩阵的最大和最小谱半径所界定。具体而言，我们证明 $$\min_{B\in Omega(A)} ho(B) \leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{i,j} \leq \max_{B\in Omega(A)} ho(B).$$ 对于正数矩阵 $A$，我们还得到了一个必要且充分的条件，以使得上述不等式（或等价地，两个不等式）成为等号。我们还给出了一个不可约矩阵 $C$ 需要满足的条件，以使得 $ho(C)=\min_{B\in Omega(A)} ho(B)$ 或者 $ho(C)=\max_{B\in Omega(A)} ho(B)$。这些条件可用于推导算法，以找到这样的 $C$，当 $A$ 的所有元素都为正数时。
作者：Gernot Michael Engel, Sergei Sergeev
论文ID：2209.01991
分类：Rings and Algebras
分类简称：math.RA
提交时间：2023-05-29