相对（功能）类型 I 空间和窄子空间
摘要：空间$X$的一个开链覆盖$U_{\alpha}$（其中$\alpha$为基数）是一个系统覆盖，如果当$\alpha<\eta$时，$U_{\alpha}$的闭包包含在$U_{\eta}$中；如果$\kappa=\omega_1$且每个$U_{\alpha}$的闭包是Lindelöf，则空间$X$是Type I的。对于$X$的每个系统覆盖$V_{\alpha}$，如果要么存在$\alpha$使得$D$包含在$V_{\alpha}$中，要么对于每个$\alpha$，$V_{\alpha}$与$D$的闭包的交集是Lindelöf，则闭子空间$D\subset X$在$X$中是狭窄的。通过连续映射$s:X\to \mathbb{L}_{\geq 0}$（其中$\mathbb{L}_{\geq 0}$是长线）的原像给出的系统覆盖$[0,\alpha)$，定义了功能性Type I空间和功能性狭窄子空间。例如，$\mathbb{L}_{\geq 0}$和$\omega_1$在它们自身和任何其他空间中都是狭窄的。 我们研究了这些性质及其相对版本，以及它们之间的关系，并特别展示了以下结果。存在功能性Hausdorff Type I空间，它们不是功能性Type I空间，而正则Type I空间是功能性Type I空间。我们展示了一些在某些空间中是狭窄的但在其他空间中却不是的空间的例子。在Tychonoff空间$Y$中存在子空间是功能性狭窄的，但在$Y$中不是狭窄的，而如果$Y$是正规的，则这两个概念是一致的。在PFA和使用经典结果的前提下，任何$omega_1$-紧局部紧可数紧Type I空间都包含一个在其内是狭窄的非Lindelöf子空间（实际上是一个$\omega_1$的副本），而Suslin树不包含这样的子空间。存在其子空间是狭窄的但本质上离散的空间。最后，我们研究了（功能性）狭窄子空间上的自然偏序以及这些偏序何时是$omega$-closed或$omega_1$-closed。
作者：Mathieu Baillif
论文ID：2208.10096
分类：General Topology
分类简称：math.GN
提交时间：2022-08-23