来自强化的直和定理
摘要：重新审视通信复杂度中的直和定理，它询问解决 $n$ 个通信问题的资源是否（近似）等于分别解决这些问题的资源的总和。我们的工作始于观察到 Meir 和 Dinur 的对于矩形上协议大小的加固引理可以推广为对于集合上的次可加度量的一般加固引理。通过将此引理应用于覆盖数的情况，我们得到了覆盖数的对偶形式，称为“$\delta$-愚弄集”，它是一种广义愚弄集。给定一个通信问题 $S \subseteq (X \times Y) \times Z$，设 $Lambda \subseteq X \times Y$ 是 $S$ 的 $\delta$-愚弄集，那么对于任何子集 $ilde{Lambda} \subseteq Lambda$ 且满足 $|ilde{Lambda}|/|Lambda| > \delta$，不存在覆盖子集 $ilde{Lambda}$ 的单色矩形。特别地，通信问题 $S$ 存在一个 $frac{16\log|X||Y|}{\mathsf{Cov}(S)}$-愚弄集。利用这个事实，我们能够通过简单的双重计数论证重新证明覆盖数的经典直和定理。我们还证明了关于协议大小的新的直和定理，它涉及协议大小方面的两个函数的更好的直和定理。具体而言，设 $\mathsf{L}$ 表示协议大小，给定一个通信问题 $F:A \times B \rightarrow {0,1}$，则有 $log \mathsf{L}(F \times F) \geq log \mathsf{L}(F) + \Omega(\sqrt{\log \mathsf{L}(F)}) - \log \log |A||B| - 4$。我们还证明了由 Amos Beimel 等人引入的agree问题的紧密覆盖数下界。
作者：Hao Wu
论文ID：2208.07730
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-08-17