度量表面上单调函数的共面不等式
摘要：度量曲面上的霍尔不等式：metric surfaces的度量空间是拥有局部有限Hausdorff 2测度$\mathcal{H}^2$的拓扑曲面，无边界。对于单调Sobolev函数$u: X \to \mathbb{R}$，我们证明了不等式 $$ \int_{\mathbb{R}^*} \int_{u^{-1}(t)} g \, d\mathcal{H}^1 \, dt \leq \kappa \int_X g \, |\nabla_h u| \, d\mathcal{H}^2 \quad \text{对于每个Borel函数} \, g: X \to [0,\infty], $$ 其中$|\nabla_h u|$是$u$的任意可积上梯度。如果$|\nabla_h u|$是局部$L^2$可积的，我们得到了最优常数$kappa=4/\pi$。单调性条件是不能去除的，因为我们给出了一个度量曲面$X$和一个Lipschitz函数$u: X \to \mathbb{R}$的例子，它违反了上述的区域不等式。
作者：Behnam Esmayli, Toni Ikonen, Kai Rajala
论文ID：2208.06185
分类：Metric Geometry
分类简称：math.MG
提交时间：2022-08-15