逆向数学中的大问题：实数的不可数性
摘要：$mathbb{R}$的不可数性是其最基本的性质之一，远为数学界所熟知。康托尔于1874年证明了$mathbb{R}$的不可数性，该证明甚至出现在集合论的第一篇论文中，即一个历史性的里程碑。在本文中，我们研究了Kohlenbach的高阶逆向数学（RM）中$mathbb{R}$的不可数性，采用以下原则：$$hbox{对于可数集$Asubset mathbb{R}$，存在$yin mathbb{R}setminus A$。}$$一个重要的概念性观察是，通常的可数集定义--基于到$mathbb{N}$的单射或双射--似乎不适用于主流数学的RM研究；我们还提出了一个适当的（在强系统下等价的）可数集定义，即有限集的$mathbb{N}$上的并集；后者已经在文献中得到了研究，并更接近于可数集在实际中的出现方式。我们确定了一大批与基于我们替代定义的中心定理等价的定理。令人惊讶的是，我们的等价定理涉及到了黎曼积分的最基本特性、有界变差函数、布卢姆伯格的定理和沃尔特拉在1881年左右的早期工作。我们的等价关系也是稳健的，将$mathbb{R}$的不可数性提升到了RM中的“大”系统的地位。
作者：Sam Sanders
论文ID：2208.03027
分类：Logic
分类简称：math.LO
提交时间：2023-06-26