决策列表的多项式阈值函数
摘要：布尔函数$f: S \rightarrow \{-1,1\}$是一个关于度为$d$和权重为$W$的多项式阈值函数(PTF)，如果存在一个整数系数的多项式$p$，其次数为$d$且绝对系数的和为$W$，使得$f(x) = \text{sign}(p(x))$对于所有$x \in S$成立。我们研究决策列表的表示为布尔立方体${0,1}^n$上的PTF以及汉明球${0,1}^{n}_{\leq k}$上的PTF。 作为我们的第一个结果，我们证明对于所有$d = O\left(\left(\frac{n}{\log n}\right)^{\frac{1}{3}}\right)$，任意决策列表在${0,1}^n$上都可以由度为$d$且权重为$2^{O(n/d^2)}$的PTF表示。这个结果比Klivans和Servedio[Klivans, Servedio, 2006]在权重的指数中多出一个$log^2 d$因子。由于Beigel[Beigel, 1994]的匹配下界，我们的上界对于所有$d = O\left(\left(\frac{n}{\log n}\right)^{\frac{1}{3}}\right)$是紧密的。 对于在汉明球${0,1}^n_{\leq k}$上的决策列表，我们证明了上界可以大大改进为$n^{O(\sqrt{k})}$对于$d= \Theta(\sqrt{k})$。我们还证明了对于较小的度数而言类似的改进是不可能的，通过证明对于所有$d = O(\sqrt{k})$，下界$W = 2^{\Omega(n/d^2)}$成立。
作者：Vladimir Podolskii and Nikolay V. Proskurin
论文ID：2207.09371
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-12-22