最小权重的欧几里得$(1+\varepsilon)$-跨度图
摘要：单位正方形内部$n$个点的欧几里德$(1+\varepsilon)$-跨向器的最小权重是$O(\varepsilon^{-3/2}\sqrt{n})$，且此界是最好的。这个上界基于一种新的跨向器算法，可以稀疏化Yao-图。它改进了基准$O(\varepsilon^{-2}\sqrt{n})$，该基准通过将欧几里德最小生成树（MST）的权重的紧密界限与欧几里德$(1+\varepsilon)$-跨向器的轻度界限相结合得到。这个结果推广到了每个维度$d\in \mathbb{N}$的欧几里德$d$-空间：单位正方体$[0,1]^d$中$n$个点的欧几里德$(1+\varepsilon)$-跨向器的最小权重是$O_d(\varepsilon^{(1-d^2)/d}n^{(d-1)/d})$，且此界是最好的。对于整数格点的$n \times n$部分，我们证明了欧几里德$(1+\varepsilon)$-跨向器的最小权重在$\Omega(\varepsilon^{-3/4} \cdot n^2)$和$O(\varepsilon^{-1}\log(\varepsilon^{-1}) \cdot n^2)$之间。当按比例缩放到单位正方形中的$n$个点的网格时，这些界限变为$\Omega(\varepsilon^{-3/4}\sqrt{n})$和$O(\varepsilon^{-1}\log(\varepsilon^{-1})\sqrt{n})$。特别地，这表明整数格点不是最小权重欧几里德$(1+\varepsilon)$-跨向器的极端配置。
作者：Csaba D. T''oth
论文ID：2206.14911
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-10-11