多项式的形象与上三角矩阵代数中的Waring类型问题
摘要：多项式 $p$ 是在非交换变量 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 上的多项式，且常数项为零，定义在一个代数闭域 $K$ 上。本文研究的对象是这类多项式在上三角矩阵代数 $T_m(K)$ 上的像。我们引入了一类多指标 $p$-归纳多项式来给定多项式 $p$。利用这个多项式族，我们将证明，如果 $p$ 是 $T_t(K)$ 的多项式恒等式但不是 $T_{t+1}(K)$ 的恒等式，则 $p\left(T_m(K)\right) \subseteq T_m(K)^{(t-1)}$。当 $t=1$，$m-1$ 时，等号成立，并提供了一个例子来说明一般情况下等号不成立。我们进一步证明存在一个 $d$，使得 $T_m(K)^{(t-1)}$ 中每个元素都可以表示为 $p\left(T_m(K)\right)$ 中 $d$ 个元素的和。还证明了在一个字映射下，$T_m(K)^\times$ 的像在 $T_m(K)^\times$ 中是 Zariski 稠密的。
作者：Saikat Panja, Sachchidanand Prasad
论文ID：2206.08827
分类：Rings and Algebras
分类简称：math.RA
提交时间：2023-04-04