用代数方法构建Goldbach多项式作为Goldbach猜想的途径
摘要：用代数方法找到证伪哥德巴赫猜想的必要条件和充分条件，不需要知道素数之间的间隔。首先，设 $a \in \mathbb{N}$，且$a > 3$。接下来，赋予变量 $x$，对于任意的素数 $p_i \leq a$，必须存在一些唯一的 $q_i, \alpha_i \in \mathbb{N}$ 满足 $x = q_i + p_i$ 和 $\prod_{i=1}^{pi(a)}q_i = \prod_{i=1}^{pi(a)}p_i^{\alpha_i}$。最后，将每个 $q_i = x - p_i$ 代入乘积关系式得到哥德巴赫多项式 $\prod_{i=1}^{pi(a)}(x - p_i) = \prod_{i=1}^{pi(a)}p_i^{\alpha_i}$。然后，将证明当 $a \in \mathbb{N}$ 且 $a > 3$ 时，当且仅当 $2a$ 是哥德巴赫多项式的解时，哥德巴赫猜想为假。 使用类似的方法，确定每个偶数都不是两个素数的差，其中一个素数小于该偶数的必要条件和充分条件。首先，设 $a \in \mathbb{N}$，且 $a > 3$。同样，赋予变量 $x$，对于任意的素数 $p_i \leq a$，必须存在一些唯一的 $q_i, \alpha_i \in \mathbb{N}$，满足 $x = q_i - p_i$ 和 $\prod_{i=1}^{pi(a)}q_i = (a+1)^{\eta(a+1)} \prod_{i=1}^{pi(a)}p_i^{\alpha_i}$，其中函数 $\eta(a+1)$ 的条件是，如果 $a+1$ 是素数则为 1，否则为零。最后，将每个 $q_i = x + p_i$ 代入乘积关系式得到哥德巴赫差分多项式 $\prod_{i=1}^{pi(a)}(x + p_i) = (a+1)^{\eta(a+1)} \prod_{i=1}^{pi(a)}p_i^{\alpha_i}$。然后，将证明当 $a > 3$ 时，当且仅当 $2a$ 是哥德巴赫差分多项式的根时，形如 $2a$ 的每个偶数都不是两个小于 $a$ 的素数的差。
作者：Jason R. South
论文ID：2206.01179
分类：General Mathematics
分类简称：math.GM
提交时间：2022-12-20