上半空间中椭圆系统的$mathrm{CMO}$-Dirichlet问题
摘要：在本文中，我们证明了对于任意的$N \times N$的二阶齐次椭圆系统$L$，其中$L$具有常数复系数，并且定义在$\mathbb{R}^n$中，Dirichlet问题在边界数据为$CMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$的情况下是良定义的，假设$dmu(x', t) := |\nabla u(x)|^2 dt dx'$是在某种意义下$\mathbb{R}^n_+$上的强消失Carleson测度。这解决了Martell等人提出的一个未解决的问题。证明依赖于一种定量的Fatou型定理，它不仅保证了满足强消失Carleson测度条件的平滑零解的点态非切向边界迹的存在，还包括一个关于解的Poisson积分表示公式的特征以及一个关于椭圆系统解之间的迹的$CMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$的刻画。此外，我们能够建立在边界数据属于$XMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$的情况下，对于上述系统$L$的Dirichlet问题在$\mathbb{R}^n_+$中的良定义性，其中$XMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$介于$CMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$和$VMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$之间。类似地，我们提出了一种新型的强Carleson测度条件，并给出了关于椭圆系统解的迹和$XMO(\mathbb{R}^{n-1}, \mathbb{C}^N)$的刻画。
作者：Mingming Cao
论文ID：2206.00318
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-07-25