解决全非线性偏微分方程的差分学习方法
摘要：用于解决具有凸哈密顿量的全非线性偏微分方程（PDE）的机器学习方法 我们的算法分为两个步骤。首先，将PDE重写为其对偶随机控制表示形式，并使用神经网络估计相应的最优反馈控制。接下来，介绍了三种不同的方法来近似相关的价值函数，即感兴趣的整个空间时间域的初始PDE的解。所提出的深度学习算法依赖于通过回归或马丁格尔表达式及其微分关系获得的各种损失函数，并同时计算解及其导数。与现有方法相比，添加与梯度相关的微分损失函数以及使用带有前向过程的马丁格尔导数的增强训练集可以更好地估计PDE的解导数，特别是通常难以近似的二阶导数。此外，我们利用这些方法设计了用于通过DeepOnet神经网络近似功能算子解决PDE族的算法，当终端条件变化（例如，在数学金融背景下的期权偿付）时。数值测试说明了我们方法在解决全非线性PDE（与具有线性市场影响的期权定价有关）以及Merton组合选择问题方面的准确性。
作者：William Lefebvre and Gr''egoire Loeper and Huy^en Pham
论文ID：2205.09815
分类：Computational Finance
分类简称：q-fin.CP
提交时间：2022-05-23