改进的低深度集合多线性电路下界
摘要：对于常数深度集合多线性公式，我们证明了更强的下界。具体地说，我们证明在任何域上，存在一个定义在$n^2$个变量上、度数为$n$的显式多项式$f$，使得任何计算$f$的深度为$Delta$的集合多线性公式的大小至少为$n^{Omega left( n^{1/Delta}/Delta ight)}$。困难多项式$f$来自Nisan-Wigderson (NW)基于设计的多项式类。我们的下界改进了最近Limaye、Srinivasan和Tavenas的工作(STOC 2022)，他们证明了形式为$(log n)^{Omega (Delta n^{1/Delta})}$的下界，对于计算与$f$具有相同次数和相同变量数量的迭代矩阵乘法(IMM)多项式的深度为$Delta$的集合多线性公式的大小。此外，对于任何$Delta geq 2$，我们的下界是新颖的。对于一般的集合多线性公式，Raz (J. ACM 2009)已经证明了形式为$n^{Omega(log n)}$的下界，对于更一般的多项式公式模型。LST的技术提供了一条不同的路径来求解集合多线性公式下界，并使他们能够得到形式为$(log n)^{Omega(log n)}$的一般集合多线性公式计算IMM多项式大小的下界。我们的证明技术是LST方法的另一种变化，并使我们能够得到改进的下界(与Raz的下界相匹配)形式为$n^{Omega(log n)}$，尽管对于相同的VNP中的多项式$f$（NW多项式）。正如LST所观察到的，如果对于IMM多项式可以得到相同的$n^{Omega(log n)}$大小的下界对于无界深度的集合多线性公式，那么利用IMM的自可约性和难度升级结果，这将暗示一般代数公式的超多项式下界。
作者：Deepanshu Kush, Shubhangi Saraf
论文ID：2205.00611
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-05-03