不是每个可数完备格都是清醒的
摘要：关于Scott空间的清醒性的研究在定义论领域有着相对长的历史。Lawson和Hoffmann分别证明了每个连续有向完备偏序集（通常称为域）的Scott空间都是清醒的。Johnstone构造了第一个有向完备偏序集，其Scott空间是非清醒的。不久之后，Isbell给出了一个具有非清醒Scott空间的完全格。基于Isbell的例子，Xu、Xi和Zhao证明了甚至存在一个Scott空间为非清醒的完全Hunting代数。Achim Jung随后提出了一个问题：是否每个可数完全格都有一个清醒的Scott空间。 令$Sigma P$为偏序集$P$的Scott空间。在本文中，我们首先证明了如果偏序集$P$和$Q$的所有非平凡理想集$Id(P)$和$Id(Q)$都是可数的，那么乘积空间$Sigma P imes Sigma Q$的拓扑与乘积偏序集$P imes Q$上的Scott拓扑相一致。基于这个结果，我们推断出如果有向完备偏序集$P$的$Id(P)$可数并且空间$Sigma P$是连贯且良好过滤的，那么它具有一个清醒的Scott空间。因此，如果完全格$L$的$Id(L)$可数，那么它具有一个清醒的Scott空间。利用所得到的结果，我们构造了一个Scott空间为非清醒的可数完全格，从而否定了Jung的问题的答案。
作者：Hualin Miao and Xiaoyong Xi and Qingguo Li and Dongsheng Zhao
论文ID：2205.00250
分类：General Topology
分类简称：math.GN
提交时间：2022-05-03