Vietoris-Rips距离空间的度量图附近的复形
摘要：测量空间S的Vietoris-Rips复形$ \mathcal {R} _\varepsilon（S）$与一个具有较小Gromov-Hausdorff距离到闭合的Riemann流形M已经被知道可以恢复 M 的同伦类型。虽然这个定性结果是显着的，并且自然地推广到超越Riemann流形（如具有正凸半径的测地度量空间）的空间恢复中 ，但是一般性的代价是有可能。虽然尺度参数$varepsilon$已知只取决于测地度量空间的几何性质，但是如何定量地为给定的测地度量空间选择这样一个$varepsilon$仍然是难以捉摸的。在本研究中，我们专注于特殊类型的测地度量空间的拓扑恢复，称为度量图。对于一个抽象的度量图$ \mathcal {G} $和一个（样本）度量空间$ S $，我们提供了一个基于$ \mathcal {G} $的凸性半径的$ \varepsilon$描述，以便$ \mathcal {R} _\varepsilon（S）$同伦等于$ \mathcal {G} $ 。我们的研究还扩展到欧几里得子集$ S \subset \mathbb {R} ^ d $的Vietoris-Rips复形，它与嵌入的度量图$ \mathcal {G} \subset \mathbb {R} ^ d $之间存在一个小的Hausdorff距离。根据$ S $的点的两两欧几里得距离，我们引入了一个基于路径的Vietoris-Rips复形$ \mathcal {R} ^ \varepsilon _ \varepsilon（S）$的族$ \eta> 0 $。根据$ \mathcal {G} $的凸性半径和畸变，我们展示了如何选择合适的参数$ \varepsilon $和尺度$ \varepsilon $使得$ \mathcal {R} ^ \varepsilon_\varepsilon（S）$同伦等于$ \mathcal {G} $。
作者：Sushovan Majhi
论文ID：2204.14234
分类：Algebraic Topology
分类简称：math.AT
提交时间：2023-04-25