在弗雷歇距离下更快的近似子曲线覆盖
摘要：子轨迹聚类是轨迹聚类问题的一个重要变体，其中事先不知道收集到的轨迹数据中的轨迹模式的起点和终点。我们将问题转化为给定多边形曲线的集合覆盖问题：找到最小数量的代表曲线$k$，使得输入曲线上的任意点都包含在到代表曲线的Fréchet距离不超过给定$\Delta$的子曲线中。我们将重点放在代表曲线为线段的情况下，并使用几何集合覆盖领域的经典技术来研究这个NP难问题：我们使用了多项式权重更新方法的变体，这种方法是由Brönniman和Goodrich首次提出的，用于具有小VC维度的集合覆盖实例。我们得到了一个双标准近似算法，它计算一个包含$O(k \log(k))$条线段的集合，这些线段在Fréchet距离最多为$O(\Delta)$的情况下覆盖了给定的多边形曲线，该算法的运行时间在期望情况下为$\widetilde{O}(k^2 n + kn^3)$，空间复杂度为$\widetilde{O}(kn + n^3)$。对于二维输入曲线，如果曲线是$c$-紧凑的，我们将期望运行时间限制为$\widetilde{O}(k^2 c^2 n)$，空间复杂度为$\widetilde{O}(kn + c^2 n)$。在$mathbb{R}^d$中，对$n$的依赖性是二次的。此外，我们还提出了一种算法的变种，该算法在候选集合上使用隐式权重更新，在保持相同的近似界限的同时，实现了在$n$上近似线性的运行时间，而不对输入曲线做任何假设，但以相对长度的小的（多对数）依赖性为代价。
作者：Frederik Br"uning, Jacobus Conradi and Anne Driemel
论文ID：2204.09949
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-04-22