图流中的布鲁克斯定理：一个单遍半流算法用于$Delta$-着色
摘要：每个最大度为$Delta$的图都可以使用简单的贪婪算法用$(Delta+1)$种颜色着色。最近的工作表明即使在半样式流模型中，我们也可以找到这样的固定着色。但实际上，我们几乎永远不需要$(Delta+1)$种颜色来正确着色一个图。实际上，著名的Brooks定理表明，除了团和奇数圈外的每个连通图都可以用$Delta$种颜色着色。我们能否在半样式流模型中找到一种$Delta$着色呢？ 我们通过设计一种随机半样式流算法，以高概率给出一个图的正确的$Delta$着色，或者宣布该图不是$Delta$着色。 该结果的证明始于一个不同的方向。我们首先确定了先前用于流着色的方法在$Delta$着色中失败的程度：例如，所有这些方法都可以处理具有重复边的流，并且可以在$O(n^2)$的时间内运行——我们证明了这两个任务对于$Delta$着色都是不可能的。然而，这些不可能结果准确定位了关于$Delta$着色的先前方法的缺失之处。 然后，我们利用这些见解设计了一种半样式流算法，该算法使用以下两种技术：$(i)$一种基于稀疏-密集分解的新型稀疏恢复方法，部分恢复了输入的“有问题”的子图（这些子图是我们不可能结果的基础），$(ii)$一种针对这些子图的新的着色方法，可以在不依靠本地探索或找到通常对于半样式流算法是不可能的“增广路径”的情况下，以可控的方式重着色其他顶点。我们相信这两种技术都具有独立的研究价值。
作者：Sepehr Assadi, Pankaj Kumar, Parth Mittal
论文ID：2203.10984
分类：Data Structures and Algorithms
分类简称：cs.DS
提交时间：2023-08-04