三维空间中平面半代数对象的交叉查询及相关问题
摘要：在3D空间中，假设$mathcal{T}$是一个包含$n$个平面半代数区域（如三角形、圆盘）的集合，我们将其称为plates。我们希望对$mathcal{T}$进行预处理，构建一个数据结构，能够快速回答各种与交集相关的查询。例如，判断一个给定的query对象$gamma$是否与$mathcal{T}$中的任何plate相交，报告所有与$gamma$相交的plates，或计算相交的plates数量。我们还考虑了这个一般情况下的两种简化情况：(i) 输入对象是plates，查询对象是参数化代数弧（如arcs）；(ii) 输入对象是arcs，查询对象是plates。除了本身具有重要性外，这些两种特殊情况的数据结构还为处理一般情况提供了基本构件。通过将多项式分割技术与实数代数几何的其他工具结合起来，我们提出了多种不同的交集查询数据结构，同时也提供了尺寸和查询时间之间的权衡。例如，如果$mathcal{T}$是一组plates，而查询对象是代数弧，我们可以得到一个数据结构，其存储空间为$O^*(n^{4/3})$（其中$O^*(cdot)$表示隐藏了次多项式因子），并且可以在$O^*(n^{2/3})$时间内回答一个弧交集查询。这个结果的重要意义在于指数并不依赖于输入和查询对象的具体形状。对于一个参数$sin [n^{4/3}, n^{t\_Q}]$，其中$t\_Qge 3$是指定查询弧所需的实数参数数量，通过增加存储空间到$O^*(s)$，查询时间可以降低到$O^*((n/s^{1/t\_Q})^{ frac{2}{3}(1-1/t\_Q)})$。
作者：Pankaj K. Agarwal, Boris Aronov, Esther Ezra, Matthew J. Katz, and Micha Sharir
论文ID：2203.10241
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2023-08-21