关于半代数范围报告
摘要：半代数范围搜索问题的解决需要预处理一组在$mathbb{R}^D$中的点，以便能够高效地找到由$O(1)$个$Delta$次多项式不等式描述的半代数区域内的点的子集。 最近，这个问题取得了一些重大进展。使用代数技术，我们得到了具有几乎最优查询时间$Q(n)=O(n^{1-1/D+o(1)})$的“近似线性空间”结构[AMS13,MP15]。对于“快速查询”结构（即$Q(n)=n^{o(1)}$），人们猜测可以存在一个空间为$S(n) = O(n^{D+o(1)})$的结构。这个猜测最近被Afshani和Cheng [AC21]驳斥了。在平面上，他们证明了$S(n) = Omega(n^{Delta+1 - o(1)}/Q(n)^{(Delta+3)Delta/2})$，这表明$Q(n) = n^{o(1)}$需要$Omega(n^{Delta+1-o(1)})$的空间。尽管这个驳斥了猜测，但仍然存在一些未解决的问题：下界只适用于2D和快速查询，并且即使对于$D=2$，$n$和$Q(n)$的指数似乎也不紧密，因为当前的上界是$S(n) = O(n^{oldsymbol{m}+o(1)}/Q(n)^{(oldsymbol{m}-1)D/(D-1)})$，其中$oldsymbol{m}=inom{D+Delta}{D}-1 = Omega(Delta^D)$是定义一个次数为$Delta$的$D$元单铂多项式的参数的最大数量，对于任意$D,Delta=O(1)$。 在本文中，我们解决了其中的两个问题：我们在$D$维中证明了一个下界，并且当$Q(n)=n^{o(1)}+O(k)$时，我们证明了$S(n)=Omega(n^{oldsymbol{m}-o(1)})$，这在指针机模型中几乎是紧密的。考虑到$Q(n)$的指数，我们证明了[AC21]中的分析对于$D=2$是紧密的，通过展示均匀随机点集的匹配上界。这表明要么现有的上界可以改进，要么需要一个新的基本不同的输入集来得到更好的下界。
作者：Peyman Afshani and Pingan Cheng
论文ID：2203.07096
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-03-16