在几何交叉图中朝向次二次直径计算
摘要：几何相交图直径计算的复杂性研究：一个几何相交图是一个图，其顶点对应于$d$维欧几里德空间中的一些形状，如球体、线段或超立方体，其边对应于相交的形状对。图的直径是图中一对顶点之间实现的最大距离。在几个相交图的类中，几乎二次时间内计算直径是可能的，但这些算法是否是最优的尚不清楚，特别是在相关的平面图类中，直径可以在$\widetilde{mathcal{O}}(n^{5/3})$时间内计算。在这项工作中，我们有条件地排除了几个相交图类的亚二次算法，即运行时间为$mathcal{O}(n^{2-\delta})$的算法，其中$\delta>0$。特别是，在小维度中的大对象中已经没有亚二次算法：在$mathbb{R}^3$中的单位球体或在$mathbb{R}^2$中的相等边长等边三角形。对于单位线段和相等边长等边三角形，我们甚至可以在$mathbb{R}^2$中强有力地排除亚二次逼近。似乎逼近的困难也可能取决于维度：对于轴平行的单位超立方体，在$mathbb{R}^{12}$中，区分直径2和3需要二次时间（排除$(3/2-\varepsilon)$逼近），而对于轴平行的单位正方形，我们给出了一个能在近线性时间内区分直径$2$和$3$的算法。需要注意的是，我们的许多下界与已知的最佳算法相匹配，差别最多为次多项式因子。
作者：Karl Bringmann, S''andor Kisfaludi-Bak, Marvin K"unnemann, Andr''e Nusser, Zahra Parsaeian
论文ID：2203.03663
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-03-11