与Hilbert $C^*$-模上的两个投影相关联的$C^*$-同构
摘要：匹配三元组和半调和投影三元组在Friedrichs角的特征方程中有所应用，本文研究了与两个投影相关的$C^*$-同构。如果一个三元组$(P, Q, H)$满足$H$是Hilbert$ C^*$-模，$P$和$Q$是$H$上的投影，其下确界$P\wedge Q$作为$mathcal{L}(H)$的元素存在，其中$mathcal{L}(H)$表示$H$上的所有伴随算子的集合。由${P-P\wedge Q, Q-P\wedge Q, I}$和${P, Q, P\wedge Q, I}$生成的$mathcal{L}(H)$的$C^*$-子代数分别表示为$i(P, Q, H)$和$o(P, Q, H)$。证明了每个忠实表示$(\pi, X)$ of $o(P, Q, H)$都可以诱导出一个忠实表示$(\widetilde{\pi}, X)$ of $i(P, Q, H)$使得 $\widetilde{\pi}(P-P\wedge Q)=\pi(P)-\pi(P)\wedge \pi(Q)$ 和 $\widetilde{\pi}(Q-P\wedge Q)=\pi(Q)-\pi(P)\wedge \pi(Q)$ 当$(P, Q)$是半调和的时候,即$H$中的$overline{mathcal{R}(P+Q)}$和$overline{mathcal{R}(2I-P-Q)}$都在正交补空间中,则证明了 $i(P,Q,H)$和$i(I-Q,I-P,H)$在$mathcal{L}(H)$中通过一个酉算子是可等价的。 通过构造一个反例，证明了当$(P,Q)$不是半调和时可能不成立。同样，通过构造反例，证明了$(P,Q)$是半调和时，$(P,I-Q)$可能不是半调和的。还给出了一些额外的例子，展示了作用在Hilbert$ C^*$-模上的伴随算子的新现象。
作者：Chunhong Fu, Qingxiang Xu and Guanjie Yan
论文ID：2203.00827
分类：Operator Algebras
分类简称：math.OA
提交时间：2022-03-03