对$q$-差分二维Toda格子方程、$q$-差分正弦-高登方程及其可积性的洞察
摘要：非交换 $q$-差分二维 Toda 格点（$q$-2DTL）方程的准 Casoratian 解已经在我们之前的工作（引用{LNS}）中通过 Darboux 变换构造出来。我们证明了这种构造方法可以产生由 Hirota 的双线性方法得到的已有的 Casoratian 解，只不过这是在交换情况下获得的。实际上，我们不仅可以通过 Darboux 变换和二进变换构造孤子方程的解，还可以构造它们对应的 B$ddot{a}$cklund 变换的解。更具体地说，迭代使用 Darboux 变换和二进变换生成的特征函数其实就是 B$ddot{a}$cklund 变换的行列式解。这揭示了 Darboux 变换与 Hirota 的双线性方法之间的深刻联系。在本文中，我们将阐述这个观点在 $q$-2DTL 方程的情况下。首先，我们推导出广义的双线性 B$ddot{a}$cklund 变换，并由此得到了双线性 $q$-2DTL 方程的广义 Lax 对和广义 Lax 对。然后，我们成功地构造了 $q$-2DTL 方程的二进变换，基于此，我们建立了用量子积分表示的 Grammian 解，分别用于双线性 $q$-2DTL 方程和它的双线性 B$ddot{a}$cklund 变换。最后，通过对 $q$-2DTL 方程相关结果进行 2-周期约化，我们得到了 $q$-差分正弦-戈登方程和修正的 $q$-差分正弦-戈登方程，并得到了它们的解。
作者：C.X. Li, H.Y. Wang, Y.Q. Yao and S.F. Shen
论文ID：2202.13077
分类：Exactly Solvable and Integrable Systems
分类简称：nlin.SI
提交时间：2022-03-01