关于Carnot群中可矫正度量：Marstrand-Mattila 矫正性判据
摘要：在这篇论文中，我们继续研究了卡尔诺特群中的$mathscr{P}$-rectifiability概念。我们称Radon测度在$h \in \mathbb{N}$情况下是$mathscr{P}\_h$-rectifiable的，如果它在几乎所有地方具有正$h$-lower density和有限$h$-upper density，并且在几乎每个点上，它有一个唯一的切向测度（高斯测度）。在这篇论文中，我们证明了在任意卡尔诺特群中具有正态互补子群的切平面的$mathscr{P}$-rectifiable测度的Marstrand-Mattila可矫正性标准。换句话说，在这种共正态情况下，即使一个点的切平面在不同尺度上可能不相同，但是该测度事后几乎处处具有唯一的切平面。由于卡尔诺特群的每个水平子群都有一个正常的补充子群，我们的标准适用于切平面是一维水平子群的特殊情况。因此，作为我们Marstrand-Mattila可矫正性标准的直接推论和Chousionis-Magnani-Tyson的一个结果，我们获得了一维的Preiss定理在第一类Heisenberg群$\mathbb{H}^1$中。更具体地说，我们证明了在Koranyi距离下具有正态和有限一致密度的第一类Heisenberg群$\mathbb{H}^1$上的Radon测度$\phi$对于一维Hausdorff测度$\mathcal{H}^1$是绝对连续的，并且它是以Federer的意义上的一维可矫正集支撑的，即它支撑在从$A \subseteq \mathbb{R}$到$\mathbb{H}^1$的Lipschitz映射的可数并的图像上。
作者：Gioacchino Antonelli and Andrea Merlo
论文ID：2202.12741
分类：Metric Geometry
分类简称：math.MG
提交时间：2022-02-28