2x2矩阵不变量的分离性方程
摘要：$G = \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ 在 $n$-元组的 $2 \times 2$ 矩阵的集合 $\mathcal{M}_2^n$ 上以同时共轭的方式作用。已知 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_2^n]^G$ 的最小生成集 $S_n$，且 $|S_n| = \frac{1}{6}(n^3+11n)$。最近的工作表明，对于所有 $n \geq 1$，$S_n$ 是最小的包含关系下的分离集，即 $S_n$ 的任何真子集都不是分离集。这并不意味着 $S_n$ 在所有分离集中具有最小的基数。我们的主要结果表明，对于 $\mathbb{C}[\mathcal{M}_2^n]^G$ 的任何分离集，它的基数大于等于 $5n-5$。特别地，对于 $n \geq 3$，不存在大小为 $dim(\mathbb{C}[\mathcal{M}_2^n]) = 4n-3$ 的分离集。此外，$S_3$ 确实是一个分离集中最小的基数，但对于 $n \geq 4$，可能存在比 $S_n$ 更小的分离集。我们证明了对于 $n \geq 5$，实际上存在比 $S_n$ 更小的分离集。我们还证明了对于 $n \geq 5$，$mathrm{SL}_2(\mathbb{C}) \times \mathrm{SL}_2(\mathbb{C})$ 在 $\mathcal{M}_2^n$ 上的左右作用也存在类似的结果。
作者：Jonathan Elmer
论文ID：2202.05717
分类：Commutative Algebra
分类简称：math.AC
提交时间：2022-10-03