在$d$维空间中近似离散和连续的中位数线段
摘要：离散中位线段问题和连续中位线段问题是在给定了一个点集$P$时，寻找一条由$P$中的两个点所约束的线段，使得$P$到该线段的欧几里得距离之和最小。本文展示了如何在时间复杂度为$O(n\epsilon^{-2d}\log n)$和$O(n^2\epsilon^{-d})$的情况下计算离散中位线段的$(1+\epsilon\Delta)$-和$(1+\epsilon)$-近似解。其中，$\Delta$是由点对所组成的线段集的差异。在算法开发过程中，通过利用对分原理，我们得到了新的数据结构，可以快速近似计算一个点集到给定线段或点的距离之和。据我们所知，我们首次利用对分原理来解决最小和设施选址问题，这种方法多用且易于实现。我们证明了在平面上用尺规作图无法构造$n\geq3$个非共线点的连续中位线段。基于此，我们提出了一种在$mathbb{R}^d$中近似计算连续中位线段的$O(n^d\epsilon^{-d})$时间算法，近似精度为$1+\epsilon$。该算法基于将点-线段对分解从离散领域推广到连续领域。最后，我们给出了一个$(1+\epsilon)$-近似算法，用于解决在$mathbb{R}^2$中约束条件下的中位线段问题，其中输入为中位线段的一个端点或斜率。
作者：Ovidiu Daescu and Ka Yaw Teo
论文ID：2201.08900
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-02-16