无限多维度尺度化的度量测度空间
摘要：度量测度空间$(X,d,\mu)$给定一个有限样本点，计算它们之间的距离矩阵，然后使用多维尺度（MDS）算法重构这些点在某个有限维空间中，其中距离矩阵作为输入。我们证明了当样本点数量趋近于无穷大且点的密度接近于度量$\mu$时，这个过程能够给出一个自然的极限。这个极限可以看作是原始空间的“无限MDS”嵌入，不再是到有限维空间，而是到无限维的Hilbert空间。我们进一步证明了这个嵌入对于度量测度空间的自然收敛具有稳定性。然而，与通常的应用相反，我们证明在许多情况下，它不保持距离，甚至不是双重Lipschitz的，但可以提供原始空间到Hilbert空间的“雪花”（Assouad型）嵌入（例如球和平面环以及它们配备的测地距离就是这种情况）。
作者：Alexey Kroshnin, Eugene Stepanov, Dario Trevisan
论文ID：2201.05885
分类：Metric Geometry
分类简称：math.MG
提交时间：2022-08-02