广义Bajraktarević均值的局部和全局比较
摘要：本文旨在研究两个$n$变量广义Bajraktarevi''c均值的局部和全局比较，即通过建立关于未知函数$f,g,p\_1,\dots,p\_n,q\_1,\dots,q\_n:I \rightarrow \mathbb{R}$的必要条件和充分条件，研究以下比较不等式在局部和全局意义下的成立性： $$ f^{-1} \left(\frac{p\_1(x\_1)f(x\_1)+\cdots +p\_n(x\_n)f(x\_n)}{p\_1(x\_1)+\cdots +p\_n(x\_n)}\right) \leq g^{-1} \left(\frac{q\_1(x\_1)g(x\_1)+\cdots+q\_n(x\_n)g(x\_n)}{q\_1(x\_1)+\cdots+q\_n(x\_n)}\right) $$ 其中 $I$ 是一个非空的开区间，$x\_1,\dots,x\_n \in I$，假设 $f,g$ 是连续且严格单调的函数，$p\_1,\dots,p\_n,q\_1,\dots,q\_n:I \rightarrow \mathbb{R}\_+$ 是正值函数。 关于全局比较问题，本文的主要结果表明，如果 $f,g$ 是可导函数且其一阶导数不为零，且对于所有 $i \in \{1,\dots,n\}$，满足： $$ \frac{p\_i}{p\_0}=\frac{q\_i}{q\_0} \quad \text{并且} \quad \frac{p\_0(x)(f(x)-f(y))}{p\_0(y)f'(y)} \leq \frac{q\_0(x)(g(x)-g(y))}{q\_0(y)g'(y)} \quad (x,y \in I) $$ 其中 $p\_0:=p\_1+\dots+p\_n$ 且 $q\_0:=q\_1+\dots+q\_n$，则对于所有的 $x\_1,\dots,x\_n \in I$，上述比较不等式成立。
作者：Rich''ard Gr"unwald and Zsolt P''ales
论文ID：2112.11871
分类：Classical Analysis and ODEs
分类简称：math.CA
提交时间：2023-03-07