在线非交叉匹配的建议复杂度
摘要：欧氏平面上的在线匹配问题是一个有非交叉约束条件的问题。由 Atallah 在1985年引入了离线版本，而由 Bose 等人最近引入并进行了研究。问题的输入是一系列的点，当一个点到达时，算法可以将其与之前未匹配的点匹配，前提是相应的匹配边的线段不相交。决策是不可逆的，虽然最优的离线解决方案总能匹配所有的点，但在线算法在最坏情况下不能匹配所有的点，除非它得到了一些额外的信息，即建议。我们研究了这个问题的两个版本 - 单色 (MNM) 和双色 (BNM)。我们证明了在一个圆上(或者更一般地在凸位置上的输入)求解BNM的最优建议复杂度从上到下紧密地被第n个卡特兰数的对数所界定。这个结果纠正了 Bose 等人先前声称的建议复杂度是$log(n!)$的说法。这个结果的核心是在线输入中的非交叉约束和 n 个元素的排列的避免 $231$ 的性质之间的联系。我们还展示了在一个平面上求解MNM的建议复杂度的下界是$n/3-1$，上界是$3n$。这比先前已知的下界有指数级的改进，并且改进了上界的主项的常数。另外，我们对在一个圆上实现竞争比$alpha$的MNM的建议复杂度建立了一个下界为$frac{alpha}{2}infdiv{frac{2(1-alpha)}{alpha}}{1/4}n$。来自建议复杂度的标准工具，如分割树和字符串猜测问题的约化，似乎不适用于MNM/BNM，所以我们必须从第一原则设计我们的下界。
作者：Ali Mohammad Lavasani, Denis Pankratov
论文ID：2112.08295
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-08-31