理想、行列式与整理：对于多项式理想证明和使用下界
摘要：多项式环理想中非零多项式可以被用来有效地逼近行列式的结论。对于这个理想中的任意非零多项式$f$，我们构建了一个边界复杂度意义下大小为$Theta(r^{1/3})$的小型深度三$f$-oracle电路，用来逼近行列式。对于许多代数电路类别，这意味着理想中的每一个非零多项式都比大小为$Theta(r^{1/3})$的行列式更难近似计算。对于$2n imes 2n$的反对称矩阵的Pfaffian及其所有$2r imes 2r$主子矩阵的Pfaffians所生成的理想，我们也证明了类似的结果。这个结果回答了Grochow在边界复杂度设置中关于多项式理想复杂度的最近问题。我们给出了我们结果的几个应用，其中两个被突出展示: $ullet$我们证明了由低深度电路计算的理想证明系统反驳的超多项式下界。这扩展了Limaye，Srinivasan和Tavenas最近关于证明复杂性的低深度电路下界突破。对于许多自然电路类别，我们证明了我们难例的逼近证明复杂性受到了行列式的逼近电路复杂性的控制。 $ullet$我们构建了多项式大小低深度电路的新的覆盖集生成器。对于任意$varepsilon > 0$，我们构建了种子长度为$O(n^varepsilon)$的生成器，达到了种子长度和次数之间的近似最优权衡，并且可以由接近线性大小的低深度电路进行计算（相对于它们的输出大小）。这与Limaye，Srinivasan和Tavenas最近得到的生成器的种子长度相匹配，但在生成器的次数和电路复杂性上得到了改进。
作者：Robert Andrews, Michael A. Forbes
论文ID：2112.00792
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2022-10-28