平面环上高能量本征函数的定位特性
摘要：关于平面环$mathbf{T}\_Gamma:=mathbf{R}^d/Gamma$上的拉普拉斯特征函数何时足够灵活，以近似于Helmholtz方程的任何解（$Delta h + h=0$：$mathbf{R}^d$），在自然长度尺度$1/sqrtlambda$的近似，其中$lambdagg1$是特征值。由于局部Weyl定律的渐进性，这个问题的动机是“近似拉普拉斯特征函数”确实在任何紧致黎曼流形上具有这个近似性质。我们所发现的是，答案仅取决于频谱的算术属性。具体来说，回想一下，$mathbf{T}\_Gamma$的特征值的形式为$lambda\_k=Q\_Gamma(k)$，其中$Q\_Gamma$是一个二次形式，$k in mathbf{Z}^d$。我们的主要结果是，$mathbf{T}\_Gamma$的特征函数具有所需的近似性质，当且仅当$Q\_Gamma$是带有整数系数的二次形式的倍数。特别地，具有这种近似性质的格点$Gamma$的集合具有零测度，但包括所有有理格点。这个事实的一个结果是，当$Q\_Gamma$是带有整数系数的二次形式的倍数时，拉普拉斯特征函数在$1/sqrtlambda$的尺度下表现出极其灵活的行为。特别地，有任意高能量的特征函数，展示出与直径为$O(1/sqrtlambda)$的任何紧致超曲面同胚的节点分量。
作者：Alberto Enciso, Alba Garc''ia-Ruiz and Daniel Peralta-Salas
论文ID：2111.06810
分类：Spectral Theory
分类简称：math.SP
提交时间：2021-11-15