涉及半代数范围搜索的高效优化问题算法
摘要：基于带有一些变化的参数搜索的通用技术用于解决常数复杂度下的一类半代数几何对象的优化问题。这些问题的共同特点是它们涉及“增长参数”$r$和半代数谓词$Pi(o,o';r)$，这些谓词在输入对象对上具有常数复杂度，并且依赖于$r$并且在$r$上是单调的。然后定义一个图$G(r)$，其边是所有使得$Pi(o,o';r)$为真的对象对$(o,o')$，并寻求使得某些单调特性在$G(r)$上成立的最小$r$值。适用于这一背景的问题包括：（i）单元圆图上的最短路径逆问题，最近由Wang和Zhao研究；（ii）带权单元圆图上的相同问题，最近由Wang和Xue提供了一个决策过程；（iii）将这些问题扩展到三维及更高维；（iv）具有单边捷径的高维离散自由坦道与Ben Avraham等人的研究；（v）交集图中的完美匹配问题：给定一组大致大小相同的椭圆，找到最小值$r$，使得如果我们将每个椭圆扩大$r$，则所得的交集图至少包含一个完美匹配；（vi）广义距离选择问题：给定一组不相交的线段，找到由这些线段决定的两两距离中的第$k$小距离，对于给定的（足够小但是超线性的）参数$k$；以及（vii）最大高度独立塔问题：我们想在一个1.5维地形上建立最高高度的垂直塔，以使得任何两个塔尖彼此不可见。我们对问题（i），（ii）和（vi）获得了显著改进的解决方案，并为其他几个问题提供了新的高效解决方案。
作者：Matthew J. Katz and Micha Sharir
论文ID：2111.02052
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-07-15