动态几何集覆盖，重新审视
摘要：几何集合覆盖是计算几何中的一个经典问题，在过去得到了广泛研究。在问题的动态版本中，可以插入和删除点和范围，我们的目标是有效地维护一个满足一定质量要求的集合覆盖解决方案。在本文中，我们提供了一系列新的一维和二维动态几何集合覆盖数据结构，这些结构显著改进和扩展了以前的结果： 1. 第一个数据结构用于$(1+\varepsilon)$-近似的动态区间集合覆盖，其均摊更新时间为多项式对数级别。具体而言，我们实现了$O(\log^3 n/\varepsilon)$的更新时间，改进了Agarwal等人[SoCG'20]的$O(n^\delta/\varepsilon)$界，其中$\delta>0$表示任意小的常数。 2. 一个数据结构用于$O(1)$-近似的动态单位正方形集合覆盖，其均摊更新时间为$2^{O(\sqrt{\log n})}$，大大改进了Agarwal等人[SoCG'20]的$O(n^{1/2+\delta})$更新时间。 3. 一个数据结构用于$O(1)$-近似的动态正方形集合覆盖，其随机均摊更新时间为$O(n^{1/2+\delta})$，改进了Chan和He [SoCG'21]的$O(n^{2/3+\delta})$更新时间。 4. 一个数据结构用于$O(1)$-近似的动态二维半平面集合覆盖，其随机均摊更新时间为$O(n^{17/23+\delta})$。之前由Chan和He [SoCG'21]提出的半平面集合覆盖解决方案较慢，并且只能报告近似解的大小。 5. 首次提出动态几何集合覆盖的子线性结果。具体而言，我们给出了一个数据结构，用于$(3+o(1))$-近似的动态加权区间集合覆盖，其均摊更新时间为$2^{O(\sqrt{\log n \log\log n})}$，以及一个数据结构，用于$O(1)$-近似的动态加权单位正方形集合覆盖，其均摊更新时间为$O(n^\delta)$。
作者：Timothy M. Chan, Qizheng He, Subhash Suri, Jie Xue
论文ID：2111.01196
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2021-11-03