聚类与邻域
摘要：在标准的$k$-中心聚类问题中，给定一个平面上的点集$P$，目标是选择$k$个中心点，使得$P$中各点到最近中心的距离最小。我们首次进行了对带有邻域的聚类问题的系统研究，该问题将$k$-中心问题推广到允许覆盖物体为一组一般不相交的凸对象$mathscr{C}$，而不仅仅是点集$P$。对于这个问题，我们首先证明了近似中心数量的PTAS算法。具体来说，如果$r\_{opt}$是$k$个中心的最优半径，则在$n^{O(1/varepsilon^2)}$时间内，我们可以生成一组半径$leq r\_{opt}$的$(1+varepsilon)k$个中心。如果考虑近似最优聚类半径的标准目标，同时保持$k$作为硬约束条件，我们证明了在多项式时间内无法以任何因子近似计算半径，除非$mathsf{P=NP}$，即使$mathscr{C}$是一组线段。当$mathscr{C}$是一组单位圆盘时，我们证明了问题在$frac{sqrt{13}-sqrt{3}}{2-sqrt{3}}approx 6.99$的因子内难以近似。这个困难结果是对我们的主要结果的补充，我们证明了当物体是圆盘时，可能具有不同半径，存在一个$(5+2sqrt{3})approx 8.46$的近似算法。此外，对于单位圆盘，我们给出了一个$O(nlog k)+(k/varepsilon)^{O(k)}$时间的$(1+varepsilon)$-近似最优半径算法，即对于常数k的FPTAS，其运行时间仅线性依赖于$n$。最后，我们证明了问题的一维版本，即使允许交叉，也可以在$O(nlog n)$时间内精确解决。
作者：Hongyao Huang, Georgiy Klimenko, Benjamin Raichel
论文ID：2109.13302
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2021-09-29